Các phát biểu sau tương đương với định lý Borsuk-Ulam.[1]

Hàm lẻ

Một hàm g {\displaystyle g} được gọi là lẻ nếu với mọi x {\displaystyle x} : g ( − x ) = − g ( x ) {\displaystyle g(-x)=-g(x)} .

Định lý Borsuk–Ulam tương đương với phát biểu sau: Một hàm lẻ liên tục từ hình cầu n chiều vào không gian Euclid n chiều có ít nhất một không điểm.

Chứng minh:

• Nếu định lý Borsuk-Ulam là đúng, thì nó đúng cho các hàm lẻ, và với một hàm lẻ, g ( − x ) = g ( x ) {\displaystyle g(-x)=g(x)} khi và chỉ khi g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} . Do đó mọi hàm liên tục lẻ đều có ít nhất một không điểm.
• Với mọi hàm liên tục f {\displaystyle f} , hàm sau là liên tục và lẻ: g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) {\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)} . Nếu mọi hàm lẻ liên tục có không điểm thì g {\displaystyle g} có không điểm, và do đó, f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle f(x)=f(-x)} . Do đó định lý Borsuk-Ulam là đúng.

Phép co

Xét một hàm h : S n → S n − 1 . {\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}.} Ta gọi một hàm như vậy là một phép co. Định lý Borsuk–Ulam tương đương với khẳng định sau: không có phép co liên tục lẻ.

Chứng minh:

Nếu định lý đúng, thì mọi hàm lẻ liên tục từ S n {\displaystyle S^{n}} phải chứa 0 trong tạo ảnh của nó (xét phép nhúng tiêu chuẩn S n − 1 ⊂ R n {\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}} ). Tuy nhiên, 0 ∉ S n − 1 {\displaystyle 0\notin S^{n-1}} vì vậy không thể có một hàm lẻ liên tục có tạo ảnh là S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} .

Ngược lại, nếu định lý là không đúng, thì có một hàm lẻ liên tục g : S n → R n {\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} không có không điểm. Ta có thể xây dựng một hàm lẻ khác h : S n → S n − 1 {\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}} bởi:

h ( x ) = g ( x ) | g ( x ) | {\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}}

vì g {\displaystyle g} không có không đẻm. Do đó, ta có một phép co lẻ liên tục.